Вход | Регистрация
logo
Журнал пользователя:  Виктор Сорокин

Великая теорема Ферма. Моя вершина, царица гор…   25.08.2007 00:38
А.В.Суворов говаривал: «Плох тот солдат, который не хочет стать генералом». В иносказательном смысле это значит, что в любом деле человек должен стремиться достичь вершины возможного.
Так уж получилось, что жизнь несколько раз забрасывала меня в математику. Началось это еще в восьмом-девятом классе с книг про Э.Галуа и Н.Абеля из серии «Жизнь замечательных людей». Потом, во время учебы на физфаке МГУ (1961-64), два года преподавал в вечерней школе в Москве, а однажды (по просьбе дирекции) даже замещал заболевшего учителя в Пушкинской средней школе №1.
На мехмат МГУ я поступил лишь в 1964 году, однако после первого семестра удалось перевестись на заочное отделение экономического факультета, куда меня тоже сильно влекло и куда обычным способом я поступить никогда не смог бы из-за плохого знания русского языка и истории.
По окончании факультета (по кафедре «Политическая экономия» я со странной математической базой трех университетских факультетов преподавал линейную алгебру на курсах программирования при Совмине РСФСР, а потом совершенно невероятным образом Н.Н.Вильямс (муж известной правозащитницы Л.Алексеевой – о чем я не знал до самой их эмиграции в 1974 г.) взял меня «с улицы» на кафедру экономической кибернетики в Московский инженерно-экономический институт им. С.Орджоникидзе, где я преподавал математические методы программирования и экономическую кибернетику.
Так или иначе, но математика была областью моей деятельности, ну и потому вершина интеллектуальной трудности – Великая теорема Ферма – не могла не привлекать к себе мое внимание. В первые лет пять после школы я обращался к ней изредка. Но после создания в 1985 г. своей методики изобретательства и изобретения всего возможного, в чем я хоть немного разбирался, и тщетной многолетней попытки продать хоть что-нибудь в январе 1990 г. я засел за Великую теорему (кратко – ВТФ). Нередко мне казалось, что мне удалось найти решение. Начиналась переписка с университетами, которая, однако, рано или поздно заканчивалась одним: опровержением.
В математическом мире почему-то принято считать, что не пытаться доказать ВТФ – дело не постыдное; постыдно – пытаться, но… естественно, не доказать. Так что быть ферматистом, т.е. пытающимся доказать ВТФ, требует от человека большого мужества, так как все они априори награждаются позорной кличкой: ферманьяк (а то и ферманька). Лично я – человек с крепкой психикой, меня насмешки никак не достают, а вот ближним выдерживать их бывает нелегко. Это все равно как иметь мужа или отца не просто чекнутого, а еще до смешного уродливого, на которого все тычут пальцем: «Смотрите, смотрите, а у него нос подбородка касается!». Жены ферматистов, может быть, относились бы к своим мужьям более снисходительно, если бы они занимались неразрешимой проблемой для себя и складывали бы свои расчеты просто «в ящик». Но ферматист каждый раз, найдя правдоподобный подход, непременно хочет показать его посмеивающимся над ним коллегам, которые сами никогда теоремы не касались, ибо с детства усвоили негласное решение Академии наук: Великую теорему отнести к разряду вечных двигателей. И в самом деле, за три века тысячи крупных специалистов и миллионы любителей так и не смогли найти ее доказательство! А ведь сам мэтр вроде бы недвусмысленно указывал на полях четвертой книги «Арифметики» Диофанта: полей, для того чтобы привести свое сказочное доказательство, недостаточно. Если бы доказательство требовало бы многостраничной рукописи, вряд ли П.Ферма заикнулся бы о полях. Значит, он имел в виду доказательство максимум в одну-две страны текста.
Учитывая это обстоятельство, я немедленно прекращал расчеты, если было видно, что их объем переваливает за две страницы. С другой стороны, мусолить две страницы – дело дебильное: ошибка, если она есть, должна быть налицо. Однако мой поиск ошибки в одном двухстраничном доказательстве затянулся на… тринадцать лет. Положение усугубилось еще и тем, что однажды (в 2000 г.) я получил на него одиннадцать положительных отзывов математиков, в том числе и от специалистов по ВТФ. И только участие на мехматовском форуме показало мне, что мои расчеты не выявляют противоречие в равенства Ферма. А поскольку из многих тысяч подходов этот мой подход был самым многообещающим, с активным исследованием Великой теоремы я завязал. Я вспоминал о ВТФ лишь тогда, когда обстоятельства не позволяли мне заниматься чем бы то ни было: например, в длительной поездке или в магазине – в ожидании, пока жена «развивает свои потребности».
Однако вряд ли попытки найти элементарное доказательство Великой теоремы когда-нибудь прекратятся. В корректной форме они обычно выглядят так: найдите ошибку в представленном варианте доказательства ВТФ. Впрочем, дело тоже не бесполезное, так как тренирует математическое мышление.

===================================

Вот по существу полный текст доказательства ВТФ.

Великая теорема Ферма. Первый случай (АВС не кратно n)
Элементарное доказательство в системе счисления с простым основанием n>3.

Суть противоречия: После умножения равенства Ферма на некоторое число g^{nn} и числа U – на g^n, не кратное n, число делителей n в числе U=A+B-C МЕНЯЕТСЯ.

Общеизвестные факты из равенства Ферма:

Пусть для взаимно простых A, B, C (где АВС не кратно n} и простого n>3
(простейший случай n=3 доказывается отдельно)
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R и A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где, как известно,
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr, где
1c°) A+B=c^n, C-B=a^n, C-A=b^n, R=r^n, P=p^n, Q=q^n;
1d°) числа r, p, q оканчиваются на цифру 1;
1e°) U=A+B-C=un^k, где u не кратно n и k>1.
1f°) Лемма. Если k-значное окончание числа d равно g0...01, где цифра g не равна нулю, то (k+1)-значное окончание числа d^n равно ...100...01 [поскольку сомножитель g^{n-1} в предпоследнем члене бинома Ньютона (gn^k+1)^n, согласное малой теореме Ферма, оканчивается на цифру 1 ].
1g°) При почленном умножении равенства 1° на g^{nn} числа a, b, c умножаются на g, числа A, B, C, A+B-C – на g^n, числа P, Q, R – на g^{(n-1)n}, числа p, q, r – на g^{n-1}.
1h°) Лемма. Все предпоследние значащие цифры в числах (gn+1)^{n-1} (g=0, 1, ... n-1) различны [поскольку различны все последние цифры в числах g^{n-2}, что следует из равенства gg^{n-2}≡1 (mod n) (где g≠0).]

Доказательство

Итак, пусть числа P, Q, R имеют одинаковые k-значные окончания, равные 1 [т.е. вида 00...01], наибольшей длины. Из этого (и из 1°) следует, что
2°) число U делится на n^k и
3°) (k-1)-значные окончания оснований p, q, r также равны 1.

Если же, кроме этого, все k-е цифры оснований p, q, r не равны нулю, то (k+1)-значные окончания чисел P, Q, R [равные 10...01 – см. 1f °] равны между собой и, следовательно, число U делится на n^{k+1} [ибо (C-B)P+(C-A)Q-(A+B)R=0, где P≡Q≡R≡1 (mod n^{k+1})]. И наоборот, если в основаниях p, q, r некоторые k-е цифры равны нулю, то число U не делится на n^{k+1} [что легко доказывается методом от противного].
Однако с помощью умножения равенства 1° на подходящее число G=(gn^k+1)^{nn}, не кратном n, легко можно сделать так, что
4°) либо k-е цифры всех оснований p, q, r не равны нулю,
5°) либо одна из них равна нулю.

Первая возможность реализуется при одном из трех следующих значений G: (n^k+1)^{nn}, (2n^k+1)^{nn}, (4n^k+1)^{nn}, ((n-1)n^k+1)^{nn}.
И наоборот, для любого из чисел p, q, r с k-й положительной цифрой заведомо существует такое множитель G=(gn^k+1)^{nn} равенства 1°, что k-я цифра в произведении, например, p(gn^k+1)^{n-1} равна нулю (см. 1h°).

Таким образом, числа A+B-C и (A+B-C )g^n, где g не кратно n, имеют разное число сомножителей n, что при целом числе G невозможно.

==================

Великая теорема Ферма. Второй случай (C кратно n^k и не кратно n^{k+1})
Элементарное доказательство в системе счисления с простым основанием n>2.

Суть противоречия: {k+1}-е цифры в числах P и Q в равенствах
A^n=(C-B)P и B^n=(C-A)Q РАВНЫ, при подсчете с помощью бинома Ньютона,
и НЕ РАВНЫ, при подсчете по формалам разложения суммы двух степеней.

Общеизвестные факты из равенства Ферма:

0°) Пусть для взаимно простых A, B, C (C кратно n^k, k>1) и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R, A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где, как известно,
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr;
1c°) C-B=a^n, C-A=b^n, P=p^n, Q=q^n, A+B≡0 (mod n^{2k-1}), R≡0 (mod n);
1d°) числа p, q, r оканчиваются на цифру 1;
1e°) P=…+CB^{n-2}+B^{n-1}, Q=…+CA^{n-2}+A^{n-1}, где
1f°) A≡-B (mod n^{kn-1} – так как R кратно n^1); A^{n-1}≡B^{n-1} (mod n^{kn-1}.
1g°) Если k-значное окончание числа A=dn^{k-1}+1, где d≠0, то (k+1)- значное окончание числа A^n равно 1*n^k+1 [что следует из малой теоремы Ферма].

Доказательство

Для упрощения задачи мы прежде всего преобразуем {kn}-значное окончание числа B в 00...01. Для этого умножим равенство 1° на такое число g^{nn}, что {kn}-значное окончание числа Bg превратится в 1. [Важно, что от этой операции степенные свойства 1c° сохраняются.] При этом {kn-1}-значное окончание числа A превращается в -1 (что следует из 1c°), или в 99...99, где 9 есть символ для обозначения цифры n-1. [Для анализа окончаний чисел P и Q важно, что k+1<kn-1 даже в случае n=3 и k=2.]

А теперь рассмотрим числовые формулы для P и Q:
2°) P=…+CB^{n-2}+B^{n-1} [=p^n] с последними двумя членами P2 и P1,
3°) Q=…+CA^{n-2}+A^{n-1} [=q^n] с последними двумя членами Q2 и Q1 (см. 1e°), где
4°) числа P2 и Q2 оканчиваются на k нулей (см. 0°); следовательно,
5°) (k-1)-е окончания чисел p и q равны по абсолютному значению равны 1;
6°) (k+1)-е окончания чисел B^{n-2} и A^{n-2} равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку (поскольку степень n-2 нечетна); следовательно,
7°) (k+1)-е цифры в числах P2 и Q2 равны соответственно n-d и d, где d&#8800;0 [важно!];
следовательно [поскольку P=p^n и Q=q^n],
8°) (k)-е цифры в числах p и q не равны нулю [легко доказывается от противного].
Пусть эти цифры равны p' и q'. Тогда (k)-значные окончания чисел p и q равны:
9°) p'n^{k-1} +1 и q'n^{k-1}. И после возведения их в n-ю степень (k+1)-е значные окончания чисел P и Q равны (согласно 1g°):
10°) n^k +1 и n^k, в которых (k+1)-е цифры есть ЕДИНИЦЫ, а НЕ n-d и d (см. 7°), которые не могут быть равными 1 ОДНОВРЕМЕННО.

Это и доказывает истинность ВТВ для самого трудного случая.

(Мезос, 28/09 – 11/10/2013)
обратиться  vuk | 02:49 26.08.2007
И в самом деле, за три века тысячи крупных специалистов и миллионы любителей так и не смогли найти ее доказательство!

Вообще говоря, много раз проскакивала информация, что все доказано уже больше 10 лет назад. Вроде как, доказали методами современной математики...
обратиться  splxgf [Всеволод] | 00:27 29.08.2007
ru.wikipedia.org/wiki/Великая_теорема_Ферма
ну вроде как доказана, только в доказательстве ты не разберешься, так что вопрос пока актуален.
обратиться  vuk | 00:37 29.08.2007
Ага, все ищут элементарное доказательство. Чтобы можно было дураку на пальцах объяснить. Но, судя по тому, сколько голов об это разбили, его скорее всего всё-таки не существует.
обратиться  Виктор Сорокин [Sorokine Victor] | 02:18 29.08.2007
Открытия всегда происходят неожиданно, и никто не может сказать - как именно. Тем сильнее шок от крупного открытия.

Страницы:  1  


Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи!

Если Вы зарегистрированный пользователь, то вам необходимо войти на сайт с помощью следующей формы:


Если Вы на сайте впервые, то Вам необходимо пройти РЕГИСТРАЦИЮ.


Возможно Вас заинтересует:
 Фотоальбомы пользователя Виктор Сорокин






© 2024. «PUSHKINO.ORG». Все права защищены.
Реклама: reklama@pushkino.org
Использование любых материалов только с письменного разрешения администрации www.pushkino.org.
Мнение администрации не всегда совпадает с мнением автора. Администрация не несет ответственности за достоверность опубликованной информации и за отзывы, оставленные посетителями под материалами, публикуемыми на сайте.



Реклама